Question

   如图，四边形中，∥，点在的延长线上，联结，交于点，联结，，且．

（1） 求证：；

（2）当平分时，求证：四边形是菱形．

Answer

（1）、2）证明见解析

【解析】证明：（1）∵，

∴=．

∵， 

∴△∽△．

∴．

证明：（2）∵，

又∵，

 ∴．    

∴∥．

又∵∥，

∴四边形是平行四边形                                           

∵∥，

∴．            

∵平分，

∴．                            （1分）

∴．

∴．                           （1分）

∴四边形是菱形．

（1）先把等积式：DE2=BE•CE化为比例式=，利用两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△DBE∽△CDE即可证明∠DBE=∠CDE；

（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分线的性质和平行线的判定以及平行四边形的判定方法证明四边形ABCD为平行四边形，再证明AB=AD即可证明：四边形ABCD是菱形．