Question

四边形中，∥，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，．

（1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系；

（2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围；

（3）若cos=，试用的代数式表示．

Answer

见解析

【解析】证明：（1）∠1=∠2                                                   1分

∵∠=∠+∠1，又∠=∠+∠2，

          ∴∠+∠1=∠+∠2，

          ∵∠==∠，

∴∠1=∠2                                                 2分

【解析】
（2）会改变，当点在延长线上时，即时，                 1分

∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系。

∵∠==∠，

∴ =－∠2，                                        1分

∵∠+∠+=180°，

∴+∠1+－∠2=180°，                                   1分

∴∠1－∠2=180°－2．                                     1分

【解析】
（3）情况1：当点在线段上时，

∵∠1=∠2，∠ =∠，

∴△∽△，                                1分

∴，                                       1分

即，

∴。                                    2分

情况2：当点在线段的延长线上时，

可得△∽△，

∴                                     1分

作//，可得

作，由得

∴，

于是

即

亦即                                2分

（1）∠APC是△ABP的外角，根据外角等于不相邻的两个内角之和易得∠1=∠2；

（2）当BP＞5时，∠1与∠2的数量关系显然会改变．根据三角形内角和定理得新的关系；

（3）分两种情形分别求解．①当点P在线段BC上时，根据△ABP∽△PCE得关系求解；②当点P在线段BC的延长线上时，根据△EPC∽△EGP得关系求解．