Question

已知：正方形的边长为1，射线与射线交于点，射线与射线交于点，．

（1）如图1，当点在线段上时，试猜想线段、、有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

（2）设，，当点在线段上运动时（不包括点、），如图 1，求关于的函数解析式，并指出的取值范围．

（3）当点在射线上运动时（不含端点），点在射线上运动.试判断以为圆心以为半径的和以为圆心以为半径的之间的位置关系.

（4）当点在延长线上时，设与交于点，如图 2．问△与△能否相似，若能相似，求出的值，若不可能相似，请说明理由．

Answer

(1) ，证明见解析 (2)  (3) 当点在线段上时，与外切；当点在延长线上时，与内切．（4）相似，所求的长为

【解析】（1）猜想：．                                                    (1分)

证明：将△绕着点按顺时针方向旋转，得△，

易知点、、在一直线上．图1．                  (1分)

∵，

，

      又，

∴△≌△

∴．                          (1分)

（2）由（1）得

又，，

∴                       (1分)

化简可得 ．                                                 (1+1分)

（3）①当点在点、之间时，由（1）知  ，故此时与外切；(1分)

②当点在点时，，不存在．

③当点在延长线上时，

将△绕着点按顺时针方向旋转，得△，图2．

         有,,,

 ∴．

          ∴．

 又，

∴△≌△．                                                       (1分)

∴．                                         (1分)

∴此时与内切．                                                      (1分)

综上所述，当点在线段上时，与外切；当点在延长线上时，与内切．

（4）△与△能够相似，只要当即可．

这时有．                                                            (1分)

设，，由（3）有

由，得．

化简可得  ．                                                    (1分)

又由，得，即，化简得，          (1分)

解之得，，（不符题意，舍去）                               (1分)

∴所求的长为．

（1）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在一直线上．证得AF′E≌△AFE．从而得到EF=F′E=BE+DF；

（2）由（1）得 EF=x+y再根据 CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）2+（1-x）2=（x+y）2．化简即可得到y=（0＜x＜1）．

（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在．当点E在BC延长线上时，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，证得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．从而得到此时⊙E与⊙F内切．

（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可．这时有 CF=CE．设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE2+CF2=EF2，得（x-1）2+（1+y）2=（x-y）2．化简可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化简得x2-2x-1=0，解之即可求得BE的长．