Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，，顶点为．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点坐标；

（3）在（2）的条件下，将沿直线翻折，得到，求点坐标．

Answer

（1），（1，－4）（2）（3）

【解析】（1）由题意，得

，                                              1分

解得                                                   1分

所以这个二次函数的解析式为                       1分

顶点的坐标为（1，－4）                                       1分

【解析】
（2）【解法一】设

由题意，得，， 

                                                     1分

∵∠APD=90°，

∴ 

                1分

解得（不合题意，舍去）           1分

∴                                        1分

【解法二】如图，作轴，垂足为点，

则由题意，得，  1分

由∠，得∠ +∠，

由∠，得∠+∠，

∴∠=∠

又∠=∠，

∴△∽△

∴                                       1分

设

则，解得（不合题意，舍去） 1分

∴                                       1分

【解析】
（3）【解法一】如图，作⊥轴，垂足为点，

易得,∠，

∴四边形为正方形，                            1分

由∠，得∠ +∠，

由∠，得∠ +∠，

∴∠=∠ ，  

又∠=∠，

∴△≌△，

∴，                          2分

∴                                         1分

【解法二】]设                                         1分

则，

                     1分

解得，（不合题意，舍去）           1分

∴                                         1分

（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出二次函数解析式，根据顶点坐标公式求顶点坐标；

（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；

（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD=，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．

A