Question

如图，中，，，过点作∥，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作∥交线段于点，联接，设面积为，．

（1）用的代数式表示；

（2）求与的函数关系式，并写出定义域；

（3）联接，若与相似，求的长．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）∵∥，∥，

∴四边形是平行四边形                 1分

∴，                   1分

,                  1分

可得                              1分

【解析】
（2）∵，

∴∠∠

又∠ =∠，∠=∠，

∴∠=∠，

∴源:学*科*网]

∴当时，；                             1分

作，，垂足分别为点、，

则易得，，，

由∠=∠，∠=∠

得△∽△

∴，

∴，

∴                               2分

                                          1分

所以与的函数关系式是

                               1分

【解析】
（3）【解法一】当时

由，，∠∠

可得△≌△，于是              1分

由于∠∠，

所以若△与△相似，

只有△∽△

可得                                   1分

于是得，解得                  2分

同理当，可得（不合题意，舍去）    1分

所以，若△与△POQ相似，AP的长为。

【解法二】当时，可得，

于是得,

                             1分

由于∠=∠，

所以若△与△相似，只有△∽△

                                    1分

解得，（不合题意，舍去）            2分

所以，若△与△相似， 的长为       1分

（1）首先根据AD∥BC，PE∥AC，判定四边形APEC是平行四边形，从而得到AC=PE=6，AP=EC=x，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式用含x的代数式表示PO；

（2）根据AB=BC=5，利用等边对等角得到∠BAC=∠BCA，再根据∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，得到∠APE=∠AOP，设AP=AO=x，用含x的式子表示OQ=5-2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y与x的函数关系式即可；

（3）根据当0＜x＜时，由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，可得若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，于是得x=5-2x，解得x的值即可．

A