Question

已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥， ∥，且四边形是平行四边形．

（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）现有三个论断：①；②∠+∠=90°；③∠=2∠．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．

Answer

见解析

【解析】（1）线段与的长度之间的数量为：．                             （1分）

证明：∵// ，//，

∴四边形是平行四边形．

  ∴．                                                        （2分）

同理可证，四边形是平行四边形．即得  ．              （1分）

又∵  四边形是平行四边形，∴  ．                    （1分）

∴  ．

∴  ．                                                    （1分）

（2）选择论断②作为条件．                                                      （1分）

证明：∵∥，

∴．                                                    （1分）

∵，

∴ ．

即得．                                                   （2分）

又∵，

∴ ．                                                       （1分）

∵  四边形是平行四边形，

∴  四边形是菱形．                                             （1分）

（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出BC=3AD的结论．

（2）可选择②作为证明条件，先证明DE=EF，然后结合四边形AEFD是平行四边形得出结论．