Question

已知：如图，抛物线与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点（0，3），且∠的余切值为．

（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点的坐标；

（2）设该抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，与直线相交于点．点在直线上，如果点是△的重心，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿轴向上或向下平移后顶点为点，写出平移后抛物线的表达式．点在平移后的抛物线上，且△的面积等于△的面积的2倍，求点的坐标．

Answer

（1），（1，4）（2）（1，6）．（3）、

【解析】（1）由点，可知 ．

在Rt△中，．

即得点（－1，0）．                                                       （1分）

由抛物线经过点、，

得 

解得 

所以，所求抛物线的表达式为．                               （2分）

顶点的坐标为（1，4）．                                                  （1分）

（2）该抛物线的对称轴直线为．                                           （1分）

由题意，可知点的坐标为（2，3），且点（1，3）为的中点．

∴．                                                              （1分）

∵点是△的重心，

∴．

即得．                                                            （1分）

于是，由点在直线上，得点的坐标为（1，6）．                          （1分）

（3）由，可知将抛物线向上平移2个单位，

得平移后的抛物线的表达式为．                               （1分）

设点的坐标为（m，n）．

△和△边上高分别为、1，

于是，由△的面积等于△的面积的2倍，

得．

解得，．

∵点在抛物线上，

∴，．                                                        （2分）

∴点的坐标分别为、．                               （1分）

（1）求出OB，根据已知得出tan∠OAB=，求出OA，即可求出A的坐标，代入抛物线即可求出抛物线的表达式，化成顶点式即可求出D的坐标；

（2）求出C的坐标，求出E的坐标，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐标；

（3）根据P、D的坐标得出抛物线相上平移两个单位即可得出新抛物线，设点M的坐标为（m，n）．求出△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，根据面积得出|m-1|=2，求出m，代入抛物线求出n即可．