Question

已知：如图，⊥，∥，，．点在线段上，联结，过点作的垂线，与相交于点．设线段的长为．

（1）当时，求线段的长；

（2）设△的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当△∽△时，求线段的长．

Answer

（1）（2），0 < x ≤ 3（3）4或

【解析】（1）过点作⊥，交的延长线于点．

∵，，PD⊥CD，AD // BC，

∴∠ =∠ =∠ = 90°，

．

∵ // ，

∴．即得  ．

又∵，

，

∴．

又由，得  △∽△．

∴．

于是，由，得  ．                                 （2分）

在△和△中，

得 ，．                                               （1分）

于是，在△中，得 ．             （1分）

（2）在Rt△中，由  ，，

得．                                                           （1分）

∵△∽△，

∴．

∴．                                                   （1分）

在△中，．

∴所求函数解析式为．                                            （2分）

函数的定义域为 0 < x ≤ 3．                                                  （1分）

（3）当△∽△时，即得△∽△∽△．                   （1分）

根据题意，当△∽△时，有下列两种情况：

（ⅰ）当点与点不重合时，可知  ．

 由△∽∽△，得．即得．

 由△∽△，得．

∴．即得．

∴．

易证得四边形是矩形，

∴．                                                   （2分）

（ⅱ）当点与点重合时，可知 ．

在Rt△中，由，，得．

由△∽△，得．

即得．

解得．                                                      （2分）

∴△∽△时，线段的长分别为4或．

（1）过点作⊥，交的延长线于点,证出△∽△，从而得出DE的长，然后根据勾股定理得出PD与DC的长，再根据勾股定理得出PC的长；

（2）先求出PD的长，然后根据△∽△，算出CD的长，再利用三角形面积公式得出它的解析式；

（3）分点P与点B重合不重合两种情况进行讨论。