Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer

【解析】
（1）由题意，得

解得，

抛物线的解析式为y=-x2-2x+3

顶点C的坐标为（-1，4）

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D,  过点C作CE⊥y轴于点E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°.  又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1.  又∵∠CED=∠DOA =90°，

∴△CED ∽△DOA，

∴.

设D（0，c），则. 

变形得，解之得.

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形. 

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），

 只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.

延长CP交x轴于M，∴AM=CM，  ∴AM2=CM2.

设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，

则， 解之得，.

∴直线CM的解析式.

，

解得， (舍去).

.           

∴.

 ②若点P在对称轴左侧（如图②），

 只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.

      由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得.

      ∴, 点F坐标为（-5,1）.

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得.

∴直线CF的解析式. 

，

解得，  (舍去).

∴.   

∴满足条件的点P坐标为或 

【解析】分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；

（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）首先求出直线CM的解析式为，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．