Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留和根号）．

Answer

【解析】
(1) CD与⊙O相切

  理由：∵∠A=30°

        ∴∠BOC=2∠A =60°

        ∵OB=OC

        ∴△BOC是正三角形

        ∴∠OCB=60°

      又∵∠BCD=30°

        ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°

      即 OC⊥CD        ∴CD与⊙O相切  

(2) Rt△COD中，∠OCD=90°，∠BOC =60°

        得：∠D=30°

        ∴OD=2OC=2

          CD=

        ∴S△OCD== 

         S扇形OBC==

         S阴影= S△OCD - S扇形OB = - 

【解析】（1）同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍，证得OC⊥CD，即可知CD与⊙O相切；

（2）扇形的面积=三角形OCD的面积-扇形OCB的面积。