Question

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图（1）摆放，使直角顶点重合．将图（1）中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图（2），点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图（2）中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图（2）中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图（3），探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I=CI．

Answer

（1）△AGH，△CEH，△DGF

（2）D1F1=AH1，提示:证△BCF1≌△E1CH1（ASA）

     从而得CF1＝CH1

     ∴D1F1＝AH1

（3）连结CG1

由（2）得D1F1＝AH1，可证得△D1G1F1≌△AG1H1（AAS）

可得D1G1＝AG1，再证△D1G1C≌△AG1C（SAS）

可得∠D1CG1＝∠ACG1＝∠D1CA＝×15°＝7．5 °

∴∠ICG1＝37．5°，又可求得∠CIE1＝75°

∴∠CG1I＝37．5°，∴∠ICG1＝∠IG1C

     ∴CI＝G1I

【解析】（1）根据全等三角形的判断解答（2）证得△BCF1≌△E1CH1，求得CF1＝CH1，从而得到结论（3）连结CG1，通过证得△D1G1F1≌△AG1H1和△D1G1C≌△AG1C，可得∠D1CG1＝∠ACG1＝∠D1CA，从而求得结论