Question

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：当取不等于l的实数时，此方程总有两个实数根．

（2）若是此方程的两根，并且，直线：交轴于点A，交轴于点B，坐标原点O关于直线的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式．

（3）在（2）的成立的条件下，将直线绕点A逆时针旋转角，得到直线′，′交轴于点P，过点P作轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求角的值．

Answer

（1）证明

∵为关于的一元二次方程

∴,即≠1

∴△＝

∴△≥0

∴当取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根．

∴,

（2）∵ 

∴

        又∵、是方程的两根

∴

∵

∴

∴直线的解析式为

∴直线与轴交点A（－3,0）与轴交点B（0,3）

∴△ABO为等腰直角三角形

∴坐标原点O关于直线的对称点O′的坐标为（－3,3）

∴反比例函数的解析式为

（3）解:设点P的坐标为（0,P）,延长PQ和AO′交于点G

∵PQ∥轴,与反比例函数图象交于点Q

∴四边形AOPG为矩形

∴Q的坐标为（,P）

∴G（－3,P）

当0°＜＜45°,即P＞3时

∵GP＝3，GQ＝3，GO′＝P－3，GA＝P

∴S四边形APQO’ ＝S△APG－S△GQO’

             ＝×GA×GP－×GQ×GO’

             ＝×P×3－（3）×（P－3）

             ＝

∴ 

∴P＝

经检验,P＝ 符合题意

∴P（0，）

∴AP=6

点A关于轴的对称点A′（3，0），连结A′P，

易得AP=PA′=6，又∵AA′=6

∴AA′=AP=A′P

∴∠PAO＝60°

∵∠BAO＝45°

∴＝∠PAO －∠BAO ＝60°－45°＝15°

当45°≤＜90°，即P＜－3时，

可类似地求得P=，这与P＜－3矛盾，所以此时点P不存在

∴旋转角＝15°

【解析】（1）由方程（a-1）x2+（2-3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2-3a）2-4×（a-1）×3=（3a-4）2，即可得到△≥0

（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数y=k/x ，即可确定反比例函数y=k/x 的解析式；

（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（-9/p ，p）．四边形APQO'的面积=

S△APG-S△QPO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．