Question

（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交

于BC于D.　求证：AB.AC=AD.AE

(2)在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是

否还成立？若成立，请给予证明。若不成立，请说明理由。

Answer

（1）证明见解析(2) 上述结论仍成立，证明见解析

【解析】（1）证明：连接CE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEC=∠ACD；

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△AEC∽△ACD，

∴，即AC2=AD•AE；

又∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述结论仍成立．

证明：连接BE，

∵AB=AC，

∴，

∴∠AEB=∠ABD；

又∵∠EAB=∠DAB

∴△AEB∽△ABD，

∴，即AB2=AD•AE．

又∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AE．

（1）要证明AB•AC=AD•AE成立，只要能证得，要用AB=AC，结合圆，等弧对等角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似．连接CE，可证明△AEC∽△ACD，问题解决．

（2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有三角形相似，能说明与AB•AC=AD•AE有关的成比例的线段关系．连接BE，可证得△AEB∽△ABD，进而可使问题解决．