Question

已知：抛物线y=x+bx+c的顶点D在直线y=-4x上，且与x轴的交点A(-1,0),B,交y轴于点C，顶点为D. 

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标. 

(2)试判断点C与以BD为直径的⊙M的位置关系.

(3)若点P的坐标是（a,0）,是否存在a，使得直线PC是⊙M的切线？若存在，求出a的值,若不存在，请说明理由.

Answer

(1) y=x-2x-3,顶点D(1,-4) (2) 点C在⊙M上(3) 存在，-3/2

【解析】⑴y=x-2x-3,顶点D(1,-4),

 ⑵∵抛物线y=x-2x-3与x轴的校点为B(3,0)

∴BD中点M为（2，-2），

∵BD=,CM=,

∴BD=2CM ,

∴点C在⊙M上。

⑶存在。

过点M作MN⊥y轴于N点，

则MN=2,NC=1.

当PC与⊙M相切时，

∠MCP=∠COB=90°，

又∠AQC=∠CQP，

∴△QAC∽△QCP

∴∠CPO=∠MCO,

∴tan∠MCO=,tan∠CPO=,

∴OP=

 (1)首先求出抛物线的项点表达式，并把它代入直线方程中，然后把A点坐标代抛物线方程中，联立解出b、c的值，从而得出抛物线的解析式，再求出抛物线与直线的交点D的坐标；

（2）先求出BD和CM的值，然后根据BD=2CM ,得出点C在⊙M上；

（3）存在.过点M作MN⊥y轴于N点，由PC与⊙M相切，得出△QAC∽△QCP，得出∠CPO=∠MCO，从而求OP的长度，得出a的值。