Question

如图，在等腰中，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是【    】

A．①②③       B．①③④         C．①④⑤ D．③④⑤

Answer

C

【解析】连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形．

因此①正确．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．

因此②错误．

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，

因此④正确．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=1/2 BC=4．

∴DE=DF=4 ；

因此③错误．

当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．

此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8；

因此⑤正确．

故选C．