Question

正方形的边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，始终保持和垂直，

（1）证明：；

（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；

（3）当点运动到什么位置时，？并求出此时BM的长．

Answer

（1）证明见解析（2）当点为BC中点时，四边形面积最大，最大面积是10（3）当点运动到的中点时，，

【解析】证明（1）在正方形中

在中，

··························· 4分

（2）

当时，取最大值，最大值为10.······················ 8分

当点为BC中点时，四边形面积最大，最大面积是10；

（3）

要使，必须有

由（1）知

当点运动到的中点时，.

此时，

（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．

（2）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．

（3）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM：MN=AB：BM，根据（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中点．即BM=2