Question

(1) 填空：如图1，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连结PN、SM相交于点O，则∠POM=_____度 .

(2) 如图2，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°. 以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.

Answer

（1）90(2) 已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接AF、DE相交于G，则∠AGE=120°，证明见解析

【解析】（1）90，

∵QM=RN，

∴RM=SN，

∵∠PSN=∠SRM=90°，SP=SR，

∴△PSN≌△SRM，

∴∠SPN=∠RSM，

∵∠RSM+∠MSP=90°，

∴∠POM=90°

（2）构造的命题为：

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=CD，∠ABC=60°，若点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接AF、DE相交于G，则∠AGE=120°．

证明：由已知，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且BC=DA，∠ABC=60°，

∴∠ADC=∠C=120°，

∵BC=CD，BE=CF，

∴CE=DF；

在△DCE和△ADF中，

∴△DCE≌△ADF（SAS），

∴∠CDE=∠DAF，

又∠DAF+∠AFD=180°-∠ADC=60°，

∴∠CDE+∠AFD=60°，

∴∠AGE=∠DGF=180°-（∠CDE+∠AFD）=180°-60°=120°．

（1）根据正方形的性质容易得到全等条件证明△PSN≌△SRM，然后利用全等三角形的性质就可以得到∠POM=90°．

（2）根据已知条件构造命题要抓住它们的相同的地方，有三条邻边相等，并且已知一个角．命题的证明主要利用题目的已知条件证明△DCE≌△ADF，然后利用全等三角形的性质证明结论．