Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.

⑴ 求tan∠FOB的值；

⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；

⑶是否存在点C, 使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

⑴1/2⑵⑶(6,0)，(1,0)，(3,0)

【解析】(1)∵A(2,2)      ∴∠AOB=45°

∴CD=OD=DE=EF=      ∴……………………（2分）

(2)由△ACF～△AOB得

∴       ∴……………………（4分）

(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°

∴只要或

即:或

①当时, ,

∴    ∴(舍去)或    ∴B(6,0) …………………（2分）

②当时,

(ⅰ)当B在E的左侧时,,

   ∴    ∴(舍去)或    ∴B(1,0) ……………（2分）

(ⅱ)当B在E的右侧时,,

   ∴    ∴(舍去)或    ∴B(3,0) ……………（2分）

（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．

（2）证明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．

（3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要或，即分BE=2t或两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．