Question

如图，PA是⊙O的割线，且经过圆心O，与⊙O交于B、A两点，PD切⊙O于点D，AC是⊙O的一条弦，连结PC，且PC=PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PD，连结BC．求证：AB=2BC

Answer

（1）连结OC、OD

在△POC和△POD中，∵OC=OD，PC=PD，PO=PO， ∴△POC≌△POD

∴∠ODP=∠OCP.

∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP=90°，∴∠OCP=90°.

∴PC是⊙O的切线.

（2）∵PC、PD是⊙O的两条切线，

∴PC=PD，

又∵AC=PD

∴AC=PC.

 ∴∠A=∠CPA

设∠A=x，则∠COP=2x，∠CPA=x.在Rt△POC中，2x+x+90°=180°，

∴x=30°.即∠A=30°.

又∵△ABC是Rt△，

∴AB=2BC

【解析】（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，OD，通过证明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．

（2）利用直角三角形POC内角和为180°算出∠CPA的度数，从而得出∠A的度数，再根据Rt△ABC的边角关系得出结论。