Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点的横坐标为，

①用的代数式表示点的坐标；

②当为何值时，线段最短；

（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）设所在直线的函数解析式为，

∵（2，4），∴, ,

∴所在直线的函数解析式为.

（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

∴（0≤≤2）.

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时，（0≤≤2）.

∴点的坐标是（2，）   

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短.              

（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.

     假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）.

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

∴，∴，∴点的坐标是（0，）.

∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.解得，即点（2，3）.

∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，

∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得：，               

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，

使△与△的面积相等.  

综上所述，抛物线上存在点，

 使△与△的面积相等.

【解析】（1）待定系数法求得直线OA的解析式；

（2）①根据点M在y=2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出当x=2时的函数值即为点P的坐标；②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．