Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，

∴△ABE∽△ADB，

（2）∵△ABE∽△ADB，

∴，

∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，

∴AB=．

（3）直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴ 

BF=BO=，

∵AB=，

∴BF=BO=AB，

∴∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．

【解析】（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．

（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．

（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．