Question

如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢的延长线交BB ¢于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

Answer

（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

        ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢    

        ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢

∴∠ACC ¢=∠ABB ¢   

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE      

       （2）【解析】
当时，△ACE≌△FBE．    

        在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，

        ∴   

        在Rt△ABC中，

        ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，

        ∴∠BCE=．

        ∵∠ABC=，

        ∴∠ABC=∠BCE     

        ∴CE=BE

        由（1）知：△ACE∽△FBE，

        ∴△ACE≌△FBE．

【解析】（1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠ACC′=∠ABB′即可．

（2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．