Question

如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的交AC于点E，F是上的点，且    

（1）求证：BC是的切线；

（2）若sinC=，AE=，求sin∠AFE 的值和AF的长．

Answer

（1）证明见解析（2），5

【解析】（1）证明：∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA.

又∵∠C=∠DBC，

∴∠DBA﹢∠DBC＝.

∴AB⊥BC.

又∵AB是的直径，

∴BC是的切线. ………………………………………………………3分

（2）【解析】
如图，连接BE，

∵AB是的直径，

∴∠AEB＝90°.

∴∠EBC＋∠C＝90°.

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠EBC＝90°.

∴∠C＝∠ABE.

又∵∠AFE＝∠ABE，

∴∠AFE＝∠C.

∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.

∴sin∠AFE＝.  …………………………………………………………………6分

连接BF，

∴.

在Rt△ABE中，.  ……………………………………8分

∵AF＝BF，

∴. …………………………………………………………………9分

（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°即可；

（2）如图，连接BE，BF，构建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）、等量代换以及切线的性质推知所求的∠F与已知∠C的数量关系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用锐角三角函数的定义可以求得sinF的值和AF的长．