Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

（1）点C的坐标为（    ，    ）；

（2）若二次函数的图象经过点C．

①求二次函数的关系式；

②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；

③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．

(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，

∴.解得 

     ∴二次函数的关系式为 

     ②当-1≤x≤4时，≤y≤8；

     ③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直

角三角形，过点作⊥轴，

∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，

∴△≌△，∴AE＝AD＝2， ＝CD＝1,

∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；

ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴ BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上

综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．

【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；

（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.