Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为CD边上的一个动点，连结AE、BE，以AE为直径作圆，交AB于点F，过点F作FH⊥BE于H，直线FH交⊙O于点G．

(1)求证：⊙O必经过点D；

(2)若点E运动到CD的中点，试证明：此时FH为⊙O的切线；

(3)当点E运动到某处时，AE∥FH，求此时GF的长．

Answer

（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O为AE中点，

∴OD=AE，

∴点D在⊙O上．

（2）证明：如图，连结OF、EF．

易证AFED为矩形，

∴AF=DE．

∵E为CD的中点，

∴F为AB的中点．

∴OF为△ABE的中位线，

∴OF∥EB．

∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．

∴FH为⊙O的切线．

（3）【解析】
作OM⊥FG，连结OF．

∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．

易证△ADE∽△ECB，

由相似得：DE=2或8．

①当DE=2时，

如图，AF=2，FB=8，EB=4，AE=2．

由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．

∴FG=2FM=．

②当DE=8时，

如图，同上解法，可得OG=AE=2．

OM=EH=．

∴FG=2GM=．

【解析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一边得出结论；

（2）连结OF、EF，证出OF⊥FH，从而得出FH为⊙O的切线；

（3）分DE=2或8二种情况进行讨论。