Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三点．

（1）求⊙D的半径；

（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥x轴于点N，M为半径DE的中点，连接MN，求证：∠DMN=3∠MNE；

（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标．

Answer

（1）【解析】
由于OA=OB= ，且OD⊥AB，根据垂径定理知圆心D必在y轴上；

连接AD，设⊙D的半径为R，则AD=R，OD=3-R；

Rt△ADO中，根据垂径定理得：

,解得R=2；

即⊙D的半径为2；

（2）证明：过D作DH⊥EN于H，连接MH；

易知四边形DHNO是矩形，则HN=OD=1；

Rt△DHE中，MH是斜边DE的中线，

∴DM=ME=MH=1 2 DE=1；

∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；

∵∠DMH=∠E+∠MHE，故∠DMH=3∠MNE；

（3）【解析】
∵∠DMN=45°，

∴∠MNE=15°，∠E=30°；

Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；

∴DH=1，EH=  ；

∴EN=EH+HN= +1；

故E（1，  +1），

根据轴对称性可知，点E在第二象限的对称点（-1，+1）也可以．

故点E的坐标为：（1，  +1）或（-1， +1）．

【解析】（1）由于A、B关于y轴对称，由垂径定理知圆心D必在y轴上，可连接AD，在Rt△OAD中，用半径表示出OD、AD的长，然后利用勾股定理求半径的长．

（2）过D作EN的垂线，设垂足为H，易证得四边形DHBO是矩形，则BH=OD=1；连接MH，在Rt△EDH中，MH是斜边DE上的中线，则MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根据三角形外角的性质即可得出本题所求的结论；

（3）根据（2）的结论，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根据⊙D的半径及∠E的度数，即可求出DH、EH的长，也就得出了E点的坐标，再根据对称性即可求出另一种情况的点E的坐标．