Question

如图，为⊙的直径，点是弧的中点，交于点，，.       

（1）求证: ∽；

(2) 求的值；                           

Answer

解（１）∵为⊙的直径，∴∠Ａ=  

即∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ

又∵点A是弧BC的中点， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｄ.  

∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ.        

          （２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ，∴  

                ∴ＡＢ２＝２×６＝１２. ∴ＡＢ＝２.

∴在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝=．

【解析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ＡＢＣ＝∠Ｄ，再由公共角∠ＢＡＥ即得∽；

（2）根据相似三角形的对应边成比例可求出AB的长，根据直径所对的圆周角是直角即可知∠BAD是直角，从而可求得。