Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（，0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形．设直线与轴交于点M、与轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N．解答下列问题：

（1）分别求出直线和抛物线所表示的函数解析式；

（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由．

（3）将抛物线进行平移，使它经过点，求此时抛物线的解析式．

Answer

（1）由题意得，B（，3），（3，1），∴直线的解析式为；直线与轴的交点为M（5，0），与轴的交点N（0，），设抛物线的解析式为，∵抛物线过点N，∴，∴，∴抛物线的解析式为=；

（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，则P为（2，4），点P不在抛物线上；

（3）若抛物线上下平移经过点，此时解析式为；当时，，∴，=，若抛物线向左平移经过点，平移距离为，此时解析式为=；若抛物线向右平移经过点，此时解析式为。

【解析】（1）根据四边形OABC是矩形可知B（-1，3）．根据旋转的性质，得B′（3，1）．

把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系数法可解得．

由（1）得，N（0， ），M（5，0）．由C（-1，0），M（5，0），N（0，）得，利用待定系数法可得二次函数解析式为y=；

（3）根据抛物线平移的特征可以得到抛物线的解析式。