Question

已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，AB=6．

（1）求抛物线和直线BC的解析式．

（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC．

（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径．

（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部

分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由题意得： 

  解得 

经检验m=1，∴抛物线的解析式为：

（或：由得，或

m.>0， 抛物线的解析式为 

由得 ∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．

设直线BC的解析式为  则

∴直线BC的解析式为           

    (2)图象．                                   

（3）解法一：在中，OA=OC=5,∴∠OAC=45０ ．

又 

∴⊙P的半径       

解法二：

由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，

设P（-2，-h）（h＞0），

连结PB、PC，则，

由，即，解得h=2．

的半径．

解法三：

延长CP交于点F．

ＣＦ为⊙Ｐ的直径，

又．

．

又，，

  ∴⊙Ｐ的半径为

（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为，则点E的坐标为

若，则

．

解得（不合题意舍去），，．

若，则．

解得（不合题意舍去），，．

   存在点M，点M的坐标为或（15，280）．

【解析】（1）法一：用韦达定理表示，求m

法二：直接用因式分解解出方程的两根，两根就是点A，点B的横坐标，根据，求出m，通过m的值可以求出点B和点C的坐标，就可以求出直线BC的解析式

（2）根据解析式易画出抛物线和直线

（3）法一:利用，求半径

法二：圆和抛物线的对称性，求出点P的坐标即可

法三：利用三角形相似求出圆的直径

（4）设MN交直线BC于点E，由于，知道抛物线和直线BC的解析式，可求出点M坐标，但需要分情况讨论