Question

在锐角△ABC中，∠BAC＝60º，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF＝EF；②AD∶AB＝AE∶AC；③△DEF是等边三角形；④BE＋CD＝BC；⑤当∠ABC＝45º时，BE＝DE中，一定正确的有            ．

Answer

①②③⑤

【解析】【解析】
①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．

∵F是BC的中点，∴EF=DF= BC．故正确；

②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故正确；

③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．

∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．

∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故正确；

④若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．

∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE，HC=CD，

∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．

所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；

⑤∵∠ABC=45°，∴BE= BC= DE．

故答案为①②③⑤