Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．

（1）求证：=；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；

（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．

Answer

（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，

∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；

（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=；

(3)由题意，得， 所以

，

又，解得0＜h1＜

∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；

  当h1=时，S取得最小值；

当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.

【解析】（1）通过证明三角形全等证得=；

（2）通过做辅助线构建直角三角形，用勾股定理可得S=

（3）利用二次函数的思想求得正方形ABCD的面积S随的变化情况．