Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．

（1）求证：△BCF≌△DCE；

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG︰GC的值．

Answer

（1）证明见解析（2）4:3

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°………………………………………………1分

∵△ECF是等腰直角三角形，CE=CF

∴∠FCE=90°

∴∠BCF+∠FCD=∠ECD+∠FCD=90°

∴∠BCF=∠ECD…………………………………………………………3分

∴△BCF≌△DCE；……………………………………………………4分

（2）在Rt△BCF中，∠BFC=90°

  ∴BF=……………………………………………5分

∵△BCF≌△DCE

∴DE=BC=4，∠CED=90°

∵△ECF是等腰直角三角形，CE=CF

∴∠CFE=∠CEF=∠DE F=45°………………………………………6分

∵∠CGF=∠DGE

∴△CGF∽△DGE………………………………………………………7分

∴……………………………………………………8分

（1）根据四边形ABCD是正方形，可得∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD．根据△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，可知∠ECD+∠FCD=90度．所以∠BCF=∠ECD．所以△BCF≌△DCE．

（2）在Rt△BFC中，BF=，所以可知DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90度．得到DE∥FC．可证明△DGE∽△CGF．所以DG：GC=DE：CF=4：3．