Question

如图，点C是l上任意一点，CA⊥CB且AC＝BC，过点A作AM⊥l于点M，过点B作BN⊥l于N，则线段MN与AM、BN有什么数量关系，证明你的结论：

Answer

MN＝AM＋BN，证明见解析

【解析】MN＝AM＋BN           …………1分

证明：∵CA⊥CB   

∴∠ACM +∠BCN = 900

又∵BN⊥l于N，

∴ ∠CBN + ∠BCN = 900

∴ ∠ACM=∠CBN                     ………………………3分

又∵∠AMC =∠BNC=900，AC＝BC，

∴  △AMC≌△CNB                    ………………………6分

∴AM＝CN，BN＝CM，                  ………………………8分

∴MN＝AM＋BN                          ………………………9分

由AM⊥l于点M，B作BN⊥l于N，可得∠AMC=∠BNC=90°，又由CA⊥CB，根据同角的余角相等，可得∠ACM=∠CBN，然后由AC=BC，利用AAS，即可判定△AMC≌△CNB，继而证得MN=AM+BN．