Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AB = CD,E是AD的中点，AD=4，BC=6,点P是BC边上的动点（不与点B重合），PE与BD相交于点O,设PB的长为x.

(1) 当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE.

(2) 当x = （    ）时，四边形ABPE是平行四边形；当x = （    ）时，四边形ABPE是直角梯形；

（3）当P在BC上运动的过程中，四边形ABPE会不会是等腰梯形？试说明理由.

Answer

（1）证明见解析(2) 2；3（3）当PB=4时，四边形ABPE是等腰梯形

【解析】（1） ∵AD∥BC，

∴∠CBD = ∠ADB.

∵∠BOP=∠DOE，

∴△BOP∽△DOE.               ………………………………3分

（2）2；3                           ………………………………5分

（3）当PB=4时，四边形ABPE是等腰梯形.      ………………6分

证明：∵AD∥BC即DE∥PC，

      ∴当PC=DE=2,即PB=BC-PC=4时，四边形PCDE是平行四边形，

      ∴PE=CD.

又∵AB=CD，

∴PE=AB.

      ∵AE∥PB且AE与PB不相等，

∴四边形ABPE是等腰梯形.         ………………………………9分

 (1)根据相似三角形的判定求证

(2)根据平行四边形和直角梯形的性质求解

（3）根据等腰梯形的性质求证