Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.

（1）求证：DC＝BC；

（2）E是梯形内一点，连接DE、CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，连接EF.判断EF与CE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当CE＝2BE，∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值.

Answer

（1）证明见解析（2）EF＝CE. 证明见解析（3）

【解析】（1）证明：作AP⊥DC于点P.

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴四边形APCB是矩形，………………………………1分

∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.

在Rt△ADP中，tan∠ADC＝  即＝2，

∴DP＝2，

∴DC＝DP＋PC＝4＝BC.…………………………3分

（2）EF＝CE.………………………4分

证明如下：

由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，

∴CF＝CE，∠ECF＝90°，

∴EF＝.   …………………………6分

（3）由（2）得∠CEF＝45°.

∵∠BEC＝135°，

∴∠BEF＝90°.         ………………………………7分

设BE＝a，则CE＝2a，由EF＝CE，则EF＝

在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝3a，

∴COS∠BFE＝.       ……………………10分

（1）如图，过A作AP⊥DC于点P，由AB∥CD可以得到∠ABC=90°，然后得到四边形APCB是矩形，接着利用已知条件可以求出PC=AB=2，AP=BC=4，又在Rt△ADP中，根据tan∠ADC＝可以求出DP=2，接着得到DC=4，由此即可解决问题；

（2）EF=CE．由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，根据旋转的性质得到CF=CE，∠ECF=90°，然后利用勾股定理即可求出EF；

（3）由（2）得∠CEF=45°，而∠BEC=135°，由此得到∠BEF=90°．设BE=a，则CE=2a，由EF=CE，则EF=2a．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，然后根据余弦的定义即可求解．