Question

已知：抛物线（a≠0）的顶点M的坐标为（1,－2）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）.

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；

②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标.

Answer

（1）（2）（0≤x＜3）（3）①存在，Q的坐标为（2，1）②F1（1，0），F2（1，），F3（1，），F4（1，2）.

【解析】【解析】
（1）∵抛物线的顶点为M（1，﹣2）可设，

由点（0，）得：

∴.

∴即.      ……………………3分

（2）在中由y＝0得

解得：，

∴A为（－1，0），B为（3，0）                 ……………………4分

∵M（1，－2）

∴∠MBO＝45°，MB＝

∴∠MPQ＝45°

∠MBO＝∠MPQ

又∵∠M＝∠M

∴△MPQ∽△MPB                             ……………………5分

∴

∴

即

∴（0≤x＜3）.  

…………………………7分（自变量取值范围1分）

（3）①存在点Q，使QP＝QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP＝QB.

∴∠QPB＝∠MBP＝45°

又∵∠MPQ＝45°，

∴此时MP⊥x轴

∴P为（1，0），     

∴PB＝2.

∴Q的坐标为（2，1）.                 …………………………9分

②F1（1，0），F2（1，），F3（1，），F4（1，2）.

………………………………11分

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）2-2，将点C的坐标代入即可得出答案；

（2）先证明△MPQ∽△MPB，根据相似的性质列等式，求y1与x的函数关系式；

（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．