Question

已知二次函数y=x²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.

（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

Answer

【解析】
（1）由题意，得  解得              

            ∴二次函数的关系式是y=x2－1．                

       （2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．

             由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．

             由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．

            ∴⊙P的半径为r=|x|=．                

       （3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，

∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，

            又当x＝0时，y＝－1，

∴当y＞0时，  ⊙P与y相离；

              当－1≤y＜0时，  ⊙P与y相交.   

【解析】（1）由A（－1，0）、B（1，0）根据待定系数法可求出二次函数的关系式；

（2）由⊙P与两坐标轴都相切可得到点P横坐标与纵坐标的关系，再待入二次函数关系式即可求得点P的

坐标，从而得到半径r的值.

（3）根据直线与圆的位置关系特征即可得到⊙P与y轴相离、相交时点P的纵坐标的范围。