Question

已知二次函数y=-x²+4x+5图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，点D是该函数图像上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN.设点P的坐标为（t ，0）.

（1）求点B，C，D的坐标及射线AD的解析式；

（2）在AB上是否存在点P，使⊿OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；

（3）设正方形PQMN与⊿ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式.

Answer

（1）B（5，0），C（0，5），D（4，5）

     （2）∵直线AD的解析式为：，且P（t，0）。  ∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）

       当MC=MO时：t+1=     ∴边长为。

      当OC=OM时：  

       解得（舍去）

        ∴边长为。

       当CO=CM时：

       解得（舍去）

        ∴边长为。

     （3）当时：；

          当时：；

          当时：；

          当时：；

【解析】（1）根据二次函数解析式，当x=0时，求出C点坐标；当y=0时，求出B点坐标及点A坐标；将

D点横坐标代入y=-x2+4x+5，即可求出点D纵坐标；根据点A、点D坐标，应用待定系数法即可求出射线

AD解析式；

（2）假设存在点P，使△OCM为等腰三角形，根据勾股定理，若能求出P点坐标，则P存在，同时可求出

正方形PQMN 的边长；否则P不存在；

（3）由于重叠部分面积是不确定的，所以要根据其重叠程度，分情况讨论，得到不同的表达式．