Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．

（1）求证：∠OPB=∠AEC；

（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．

Answer

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，

∴PB⊥AB．

∴∠OPB+∠POB=90°．

∵OP⊥BC，

∴∠ABC+∠POB=90°．

∴∠ABC=∠OPB．

又∵∠AEC=∠ABC，

∴∠OPB=∠AEC．

（2）【解析】
四边形AOEC是菱形．

∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，∴=．

∵C为半圆ACB¯的三等分点，∴==．

∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．

∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC．

又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，

∴AC∥OE．∴四边形AOEC是平行四边形．

又 OA=OE，∴四边形AOEC是菱形．

【解析】（1）找中间量∠ABC，利用等角的余角相等证∠ABC=∠OPB，同弧所对的圆周角相等即可

（2）利用用一组邻边相等的平行四边形是菱形及两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可。