Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA,OC分别在X轴，y轴的正半轴上。OA∥BC，D是BC上一点，               ，AB=3, ∠OAB=45°，E,F分别是线段OA,AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y,则y与x的函数关系式为                    ，如果△AEF是等腰三角形时。将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积                   。

Answer

           ， 。

【解析】首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA的长，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；

若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：

①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；

②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；

③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．