Question

如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一

个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：

①E为△ABP的外心；   ②△PBE为等腰直角三角形；

③PC·OA = OE·PB；    ④CE + PC的值不变.

A．1个       B．2个    Ｃ．3个         D．4个

Answer

C

【解析】【解析】
①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CO垂直平分AB；

又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点，

∴E点是△ABP的外心，故①正确；

②如图，连接AE；

由①知：AE=EP=EB，则∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；

∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，

由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，

∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；

③∵∠PBE=∠ABC=45°，

∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，

又∵∠EOB=∠PCB=90°，

∴△BPC∽△BEO，得：PC/OE =BC/OB ，即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC；

故③错误；

④过E作EM⊥OC，交AC于M；

易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；

∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，

又∵EC=ME，PE=BE，

∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；

由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不变，故④正确；

因此正确的结论是①②④，故选C．