Question

已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F.

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

证明：（1）连接DO．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

∴DF为⊙O的切线；

（2）∵△OAD是等边三角形，

∴AD=AO=AB=2．

∴CD=AC﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF=CD=1．

∴DF=；

（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，

∴S扇形OED==，

∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．

【解析】（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；

（2）由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；

（3）连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE-S扇形OED求得阴影部分的面积．