Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

求（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后                                      再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 

     

Answer

【解析】
（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

        又D（5，2），

        ∴C（0，2），OC=2 .

        ∴    解得

        ∴抛物线的解析式为： 

   （2）点E落在抛物线上. 理由如下：

        由y = 0，得.

        解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. 

        ∴OA=4，OB=1.      由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

        由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

        ∴点E的坐标为（3，－1）.   

        把x=3代入，得，

        ∴点E在抛物线上.  

   （3）存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.

            当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，

            此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.

            设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，

            ∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）

            ∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

            下面分两种情形：  

            ①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；∴4a－7 = 2，解得；

            ②当S1∶S2 = 3∶1时，；∴4a－7 = 6，解得；

            综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）

【解析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式

（2）由y = 0，解一元二次方程，由矩形性质、旋转、轴对称性质求得E的坐标，然后代入求证

（3）由题意知有两种情形，分别讨论