Question

如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（   ）                                                                    

A．               B．           C．              D．

Answer

A

【解析】【解析】

过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，

∵N在直线y=3 4 x+3上，

∴设N的坐标是（x，3 4 x+3），

则DN=-（3 4 x+3），OD=-x，

y=3 4 x+3，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x=-4，

∴A（-4，0），B（0，3），

即OA=4，OB=3，

在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，

∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，

∴3×4=5OC，

OC=12 5 ，

∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，

∴∠MNO=45°，

∴sin45°=OC ON =12 5  ON ，

∴ON=12 2  5 ，

在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，

即(-3 4 x-3)2+（-x）2=(12 2  5 )2，

解得：x1=-84 25 ，x2=12 25 ，

∵N在第二象限，

∴x只能是-84 25 ，

3 4 x+3=12 25 ，

即ND=12 25 ，OD=84 25 ，

tan∠AON=ND OD =1 7 ．

故选A．