Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连结DE，⊙O的切线EF交BC于点F，连结BD．若DC=DE，AB=BD，则=       ，=      ． 

                                           

Answer

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【解析】设AE=x，DC=DE=y； AD为直径，∠DEA=90°，AD=BC,

所以AB=DC+2AE=y+2x=DB，EB=y+x； AB=BD， AB²=BD²，

(y+2x)²=DE²+EB²=y²+(y+x)²， 解方程得：

 3(x/y)²+2(x/y)-1=0 [3(x/y)-1][(x/y)+1]=0 (x/y)=1/3.[负值舍去]

y=3x； DC/AB=y/(y+2x)=3x/(3x+2x)=3/5； 

2， AD²=AE²+DE²=x²+(3x)²=10x²； AD=x√10； AD=BC,∠DAE=∠CBE, ∠DAE=∠DEF,

∠DAE+∠ADE=90°=∠DEF+∠BEF

∠ADE=∠BEF, ∠EFB=180°-∠BEF-∠CBE=180°-(∠ADE+∠DAE)=180°-90°=90°, RT△AED∽RT△BEF,

BE:AD=BF:AE (3x+x):x√10=BF:x BF=2x√10/5; CF=BC-BF=AD-BF=x√10-2x√10/5=3x√10/5

BF/CF=(2x√10/5)/(3x√10/5)=2/3.