Question

如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer

【解析】
（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．

∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4，解得a=1，∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3   （4分）

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第三象限，即PO的解析式为y=-x．

设P（m，-m），则-m=m2-2m-3，解得m=（m=>0，舍），

∴P（，）．                                            

（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，∴，即，∴DQ1=，

∴OQ1=，即Q1（0，）；

②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴，即，

∴OQ2=，即Q2（0，）；

③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即，

∴OQ32-4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．        

【解析】（1）先由A（1，-4）得到直线的解析式，再求得直线与x轴的交点坐标B（3，0），即可求得抛物线的解析式；

（2）由△POB≌△POC可知PO平分第三象限，即PO的解析式为y=-x，求出它与抛物线的交点坐标即为点P的坐标；

（3）分三种情况：①当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB；②当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA；③当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，在这三种情况下利用对应边成比例即可求得点Q的坐标．