Question

 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交

BC于点E．

（1）求证：点E是边BC的中点；

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长．

Answer

24．（1）证明：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，

∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，

∠BDE+∠EDC=90°，∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，∴BE=CE，即点E是BC的中点。

（2）∵EC=3，∴BC=6， BD=，

在Rt△BCD中，cosB===.在Rt△ABC中，cosB=，∴AB==.

∴===18，∴AC=.

【解析】（1）连接CD，由∠ACB=90°得BC是⊙O的切线，再有DE是⊙O的切线，根据切线长相等可得DE=CE，所以∠EDC=∠ECD。因为∠B+∠DCB=90°，∠BDE+∠EDC=90°，根据等角的余角相等可得∠B=∠BDE，所以BE=DE，结合DE=CE，所以BE=CE，即点E是BC的中点。

（2）根据勾股定理求得BD的长，再解直角三角形△BCD、△ABC求得AB的长，最后根据勾股定理即可求得AC的长。