Question

如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线的图象与该二次函数的图象交于点(8,8)，直线与轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；

（2）为线段上的一个动点（点与不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与轴交于点E．设线段PD的长为，点的横坐标为t，求与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使得以点P、D、B为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

                                           

Answer

【解析】
（1）设二次函数的解析式为，因为A（8，8）在抛物线上，所以，。

从而抛物线的解析式为.由于直线与y轴交于点B，所以B（0，4）.

(2) 由于点P在直线上,所以P(t,.因为PD⊥x轴,点D在抛物线上,

所以D(t,),所以.若点P与点A重合，则t=8，若P与B重合，则t=0.所以0＜t＜8。

（3）过点B作x轴的平行线，交抛物线于点D1，过D1作x轴的垂线交直线AB于点P1，则

△P1D1B∽△BOC，此时D1的坐标为（，P1（）。若过点B作AB的垂线交

抛物线于点D2，作D2P2∥y轴，则△P2D2B∽△BCO，此时B（0，4），D2（t，），P2（）。BP2=，P2D2=，由于，即，解得：t1=，t2=，∵t＞0，∴t=，此时P2（，2）。综上所述，满足条件的P的坐标是P（）或P（，2）。

【解析】（1）根据抛物线的图象特征设出适当的函数关系式，由(8,8)利用待定系数法可得二次函数的解析式，在中当x=0时就得到y轴的交点为B的坐标；

（2）PD的长等于点P的纵坐标减去点D的纵坐标，即得到与t之间的函数关系式，且点P在线段AB上就可得到自变量t的取值范围；

（3）根据相似三角形的对应边成比例及勾股定理可求得点的坐标。