Question

如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，

P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右

侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

Answer

⑴  设抛物线的解析式为 ，    

           ∵抛物线经过 ， ，             

            .                  

             ∵∥,

            ,

由，

,.              

∵，

∽，     

．       

⑵  设抛物线的解析式为      

∵，

．      

∵∥

，

，，

，，

，，      

同⑴得   

             ．  

【解析】（1）根据抛物线经过A（1，0），设抛物线的解析式为y=ax2+1，首先得出二次函数解析式，进

而得出P'点的坐标，从而得出B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值；

（2）根据设抛物线的解析式为y=ax2+m（a≠0），得出y=-mx2+m，首先表示出B点的坐标，进而利用△CP

′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值．