Question

图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

Answer

⑴证明：∵ ，

            ，．    

∵，

，

， ．                  

在

．      

⑵答案不唯一．如．

证明：∵，，

 ．                

          其相似比为：．    

⑶ 由（2）得，．     

同理.

．              

⑷作，

，

．    

，，，

．   

，，       

           ．  

【解析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；

（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；

（3）由（2）的结论得，即，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；

（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．